Risoluzione dell'equazione differenziale per un circuito RL con forzamento sinusoidale

di f - Ri  =  dt L     - R di f - Ri  =  - R dt L     d(f - Ri) f - Ri  =  - R L dt     d ln (f - Ri)  =  - R L dt    
ln (f - Ri)  =  - R L t  +  ln A     f - Ri  =  A e ^{- R L t}

f - Ri  =  f e ^{- R L t}    

i  =  f R (1 - e - R L t )     è il caso di fare una serie di considerazioni importanti sulla funzione ottenuto per descrivere la corrente circolante nel transitorio alla chiusura del circuito; intanto si conviene di indicare  τ  =  R L   chiamata  costante di tempo,   caratteristica del circuito, e osservare la figura a lato, dove sono rappresentate diverse curve corrispondenti a   τ (tau) diverse, da cui si evince che all'aumentare della costante di tempo si accorcia rapidamente la durata del transitorio. Inoltre si deve osservare che la ripidità della curva è massima a  t = 0, mentre a tempo zero la corrente è infinitesima pressochè zero, e questo significa che  (VR)t = 0  =  0, e la tensione applicata si manifesta tutta sull'induttanza, cioè si ha  (VL)t = 0  =  f   proprio perchè  ( di dt )t = 0  =  valore massimo,   teoricamente infinito, che tende poi a diminuire, mentre la corrente circolante aumento così che dopo un t > 10τ-20τ   il transitorio si può considerare finito e la corrente circolante assume il valore   i = f R   mentre   (VR)t = +∞  =  f  e   (VL)t = +∞  =  0; quindi a t = 0 la f.e.m alimenta solo la caduta di tensione induttiva, mentre a t = +∞ alimenta solo la caduta di tensione ohmica. A questo punto vediamo cosa accade escludendo il generatore di tensione, cioè aprendo l'interruttore  T1 e chiudendo  T2. A questo istante  t = 0   la corrente è     i0  =  f R   mentre l'equazione differenziale diventa   Ri + L di dt  =  0     di dt  =  - R L i     di i  =  - R L dt   e integrando   ln i   =   - R L t  +  ln A     ln i0   =   ln A     A   =   i0   =   f R     i  =  f R e - R L t che è la corrente del transitorio di apertura. Anche in questo caso vale quanto detto precedentemente, cioè all'aumentare della costante di tempo τ la durata del transitorio diminuisce. Il tutto è rappresentato nel grafico a destra, per diversi valori della costante di tempo; grafico che sommariamente può essere considerato quello di chiusira capovolto.

L'equazione associata ad un circuito RL serie con applicazione di una f.e.m. esterna   fM sen ω t   è   VR + VL = fM sen ω t     R i + L di dt  =  fM sen ω t Si ricordi che la caduta di tensione VL è prodotta in realtà da una forza controelettromotrice riconducibile alla Legge di Neumann-Lenz, quindi risulta   VL  =  - efce   dove la forza controelettromotrice induttiva è   efce  =  - L di dt   e quindi   VL = L di dt . Partendo dunque dall'equazione differenziale del primo ordine non omogenea perchè c'è il forzamento sinusoidale prodotto della forza elettromotrice alternata sinusoidale   fM sen ω t, vale a dire da   L di dt + Ri  =  fM sen ω t   dividendo per l'induttanza L     di dt + R L i  =  fM L   sen ωt; questa equazione

che in questo caso è dato da   e ^{R L t}   quindi procedendo, si ottiene

e ^{R L t} · ( di dt + R L i)  =  e ^{R L t} · f_M L   sen ωt     d dt (i e ^{R L t})  =  f_M L   e ^{R L t}   sen ωt     d(i e ^{R L t})  =  f_M L · (e ^{R L t}) · sen ωt dt     i e ^{R L t}  =  f_M L (e ^{R L t}) · sen ωt dt         ®

l'integrale rimasto, va integrato per parti, scegliendo  sen ωt  come fattore finito e l'esponenziale come fattore differenziale, quindi

(e ^{R L t}) · sen ωt dt  =  L R (e ^{R L t}) · sen ωt d(R L t)  =  L R sen ωt d( e ^{R L t})  =  L R e ^{R L t} sen ωt  -  L R e ^{R L t} d sen ωt  =  L R e ^{R L t} sen ωt  -  ωL R e ^{R L t} cos ωt dt

di nuovo l'ultimo integrale (in verde) si integra per parti, prendendo come fattore finito cos ωt e ancora una volta l'esponenziale come fattore differenziale

ωL R e ^{R L t} cos ωt dt  =  ωL² R² cosωt e ^{R L t} d (R L t

)  =  ωL² R² cosωt d( e ^{R L t})  =  (integrazione per parti)  =  ωL² R² cosωt e ^{R L t}  -  ωL² R² e ^{R L t} d cosωt  =  ωL² R² cosωt e ^{R L t}  +  ω²L² R² e ^{R L t} senωt dt  

(e ^{R L t}) · sen ωt dt  =  L R e ^{R L t} sen ωt  -  ωL² R²   e ^{R L t}  cosωt  -  ω²L² R² e ^{R L t} senωt dt  

e ^{R L t} senωt dt    +  ω²L² R² e ^{R L t} senωt dt  

 =  L R e ^{R L t} sen ωt  -  ωL² R²  e ^{R L t}  cosωt    

(1  +  ω²L² R² ) e ^{R L t} senωt dt    =  e ^{R L t} ( L R sen ωt  -  ωL² R²   cosωt )     R² + ω²L² R² e ^{R L t} senωt dt    =  e ^{R L t} ( L R sen ωt  -  ωL² R²   cosωt )    

e ^{R L t} senωt dt    =  R² R² + ω²L²   e ^{R L t} ( L R sen ωt  -  ωL² R²   cosωt )  =  R² R² + ω²L²   · L R² · e ^{R L t} ( R sen ωt  -    ωL cosωt )  =  L R² + ω²L²   · e ^{R L t} ( R sen ωt  -    ωL cosωt )

i e ^{R L t}  =  f_M L · L R² + ω²L²   · e ^{R L t} ( R sen ωt  -    ωL cosωt )       i  =  f_M R² + ω²L²   ( R sen ωt  -  ωL cosωt )   e qui occorre soffermarsi a considerare l'espressione ottenuta; al pari di f_M, che indica il valore massimo assunto dalla f.e.m. applicata al circuito, anche   f_M R² + ω²L²   deve indicare il valore massimo assunto dalla corrente sinusoidale, e quindi possiamo scrivere   I_M  =  f_M R² + ω²L²   e porre  

Continuando nelle considerazioni intorno ai risultati ottenuti, occorre notare che la grandezza  ωL   ha le stesse dimensioni di una resistenza ohmica, e può essere considerata come la resistenza che oppone l'induttore alla circolazione della corrente, chiamandola reattanza induttiva, provocando come tale una d.d.p. il cui valore massimo è ωL IM; inoltre dal denominatore R2 + ω2L2 si può ipotizzare che tra resistenza ohmica e reattanza induttiva ci sia una relazione pitagorica, il cui risultato è evidentemente una grandezza con esse omogenea, che chiamiamo impedenza e che con esse da luogo a quello che viene chiamato triangolo delle impedenze. Quindi al denominatore del valore massimo della corrente compare l'impedenza Z del circuito RL al quadrato, per cui possiamo concludere che     Z  =  √R2 + ω2L2    così che si può scrivere     i  =  fM √R2 + ω2L2    ( R √R2 + ω2L2  sen ωt  -  ωL √R2 + ω2L2  cosωt )     i  =  fM Z  ( R Z sen ωt  -  ωL Z cos ωt)   dove i rapporti   R Z   e   ωL Z     acquistano significato se si guarda il Triangolo delle Impedenze riportato qui a lato, da cui si deduce che   cosφ  =  R Z   e che   senφ  =  ωL Z   cioè sono coseno e seno dell'angolo di sfasamento che esiste tra l'impedenza Z e la resistenza R del circuito, o tra tensione totale   V  =  VR + VL   (somma vettoriale) e corrente di circuito, e per questo si può scrivere

L i_M ω cos(ωt - φ) + R i_M sen(ωt - φ)  =  f_M sen ωt     L i_Mω (sen ωt senφ + cos ωt cosφ) + R i_M (senωt cosφ - cosωt senφ)  =  f_M sen ωt

(R cosφ + ωL senφ) i_M sen ωt + (ωL cosφ - R senφ) i_M cos ωt  =  f_M sen ωt

ωL cosφ - R senφ  =  0     tanφ  =  senφ cosφ  =  ωL R

(R cosφ + ωL senφ) i_M = f_M     i_M  =  f_M R cosφ + ωL senφ

sen φ  =  tanφ√1 + tan²φ  =   =  ωL √R² + ω²L²

cos φ  =  1√1 + tan²φ  =   =  R √R² + ω²L²

R cosφ + ωL senφ  =  R R √R² + ω²L²  +  ωL ωL √R² + ω²L²  =  R² + ω²L² √R² + ω²L²  =  √R² + ω²L²         i_M  =  f_M √R² + ω²L²  =  f_M Z

Risoluzione dell'equazione differenziale per un circuito RC con forzamento sinusoidale

Ri + Q C  =  0         R dQ dt  =  - Q C         dQ Q  =  - dt RC         logeQ  =  - t RC + logeA           ed è facile vedere che   A = Q0   per cui si ha     Q  =  Q0 exp( - t RC )   e quindi     i  =  - dQ dt  =  Q0 RC   exp( - t RC )  =  V0 R   exp( - t RC )  =  I0 exp( - t RC )   il segno meno davanti alla derivata della carica si giustifica ricordando che la corrente è prodotta da una carica in diminuzione. Si vede anche qui che più alta è la costante di tempo   τ  =  1 RC   e più rapidamente vanno a zero tensione e corrente; ovviamente la tensione ha un andamento simile a quello della corrente, dal momento che   V  =  R I0 exp(- t RC )   Il grafico a destra illustra, per varie costanti di tempo, il caso in cui   I0  =  V0 R  =  2

A questo punto passiamo a calcolare tensione e corrente nel transitorio di chiusura in un circuito RC alimentato in corrente continua. Evidentemente risulta   f  =  VR + VC         f = Ri  +  Q C       f = R dQ dt  +  Q C       f  -  Q C  =  R dQ dt         f R  -  Q RC  =  dQ dt       1 RC (C·f - Q)  =  dQ dt        dt RC  =  dQ (C·f - Q)        - dt RC  =  d(- Q) (C·f - Q)        - dt RC  =  d(C·f - Q) C·f - Q        - t RC + logeA =  loge (C·f - Q) Vale a dire, dopo aver scambiato i membri per comodità,   C·f - Q  =  A exp( - t RC )   ovviamente le condizioni iniziali sono   t=0, Q(0) = 0   e quindi   A = C·f        C·f - Q  =  C·f  exp( - t RC )        Q  =  C·f  -  C·f  exp(- t RC )        Q  =  C·f [1 - exp(- t RC )]        VC  =  Q C  =  f (1 - e- t RC )   che è come varia la tensione ai morsetti del condensatore; infatti a t=0        Q(0) = 0        VC(0)  =  0   confermato dal fatto che   (e- t RC )t=0  =  1   che, sostituendo nell'espressione della tensione ai morsetti, viene appunto zero.

E la ddp dovuta alla f.e.m  f  dov'è a t=0? Beh, evidentemente ai morsetti della resistenza, per cui si conclude che VR(0)  =  f   e quindi è facile concludere senza troppi calcoli che   VR  =  f · e- t RC .   Infatti si ricordi che   VR + VC  =  f        VR  =  f - VC   dove   VC  =  f (1 - e- t RC )   e quindi   VR  =  f - f (1 - e- t RC )        VR  =  f · e- t RC Qui a lato nel grafico ci sono esempi di curve di carica e scarica al variare della costante di tempo τ  che nel caso del circuito RC è data da   τ = 1 RC Anche nel caso del circuito RC a costanti più piccole corrispondono tempi di carica/scarica più lunghi.

Vediamo ora il comportamento del circuito RC in regime di f.e.m. alternata sinusoidale   (confronto tra alternata non sinusoidale e sinusoidale)     →

R dQ dt  +  Q C  =  f_M sen ωt        dQ dt  +  Q RC  =  f_M R sen ωt      d²Q dt²  +  1 RC dQ dt  =  ω f_M R cos ωt      di dt  +  1 RC i  =  ω f_M R cos ωt      di dt  +  τ i  =  ω f_M R cos ωt        anche qui si risolve moltiplicando per il fattor integrante   e^τt      e^τt (di dt  +  τ i)  =  e^τt ( ω f_M R cos ωt)      
con costante di tempo  τ  =  1 RC      d dt (i e^τt)  =  e^τt ( ω f_M R cos ωt)       i e^τt  =  ω f_M R e^τt cosωt dt         ©

e anche in questo caso si procede e risolve con una doppia integrazione per parti, considerando   e^τt sempre come fattore differenziale e cos ωt come fattore finito nella prima integrazione, e sen ωt nella seconda (in verde i passaggi dove si applica l'integrazione per parti).

e^τt cosωt dt  =  1 τ cos ωt d(e^τt)  =  1 τ e^τt cos ωt  -  1 τ e^τt d(cos ωt)  =  1 τ e^τt cos ωt - 1 τ e^τt (- ω sen ωt) dt  =  1 τ e^τt cos ωt  +  ω τ e^τt sen ωt dt  =  1 τ e^τt cos ωt  +  ω τ² sen ωt d(e^τt)  = 

1 τ e^τt cos ωt  +  ω τ² e^τt sen ωt  -  ω τ² e^τt d(sen ωt)  =  1 τ e^τt cos ωt  +  ω τ² e^τt sen ωt  -  ω² τ² e^τt cos ωt dt    

questo il risultato della doppia integrazione per parti; in verde il risultato della singola applicazione dell'integrazione per parti, in rosa la raccolta del fattore differenziale nella sua primitiva. Notare che il primo integrale della lunga sequenza di passaggi e l'ultimo sono uguali a meno di un fattore costante, per cui portandoli a primo membro e raccogliendo a fattor comune si ottiene la soluzione

e^τt cos ωt dt  +  ω² τ² e^τt cos ωt dt  =  1 τ e^τt cos ωt  +  ω τ² e^τt sen ωt       (1 + ω² τ² )e^τt cos ωt dt  =  1 τ e^τt cos ωt  +  ω τ² e^τt sen ωt     τ² + ω² τ² e^τt cos ωt dt  =  1 τ² e^τt (τ cos ωt + ω sen ωt)     (τ² + ω²)e^τt cos ωt dt  =  e^τt (τ cos ωt + ω sen ωt)     e^τt cos ωt dt  =  1 τ² + ω² e^τt (τ cos ωt + ω sen ωt)

l'espressione trovata per l'integrale, si va a sostituire nell'equazione indicata con ©, ottenendo     i e^τt  =  ω f_M R · 1 τ² + ω² · e^τt (τ cos ωt + ω sen ωt)     i  =  ω f_M R · 1 τ² + ω² · (τ cos ωt + ω sen ωt)     τ² + ω²  =  (1 RC )² + ω²  =  ω² R² ( 1 ω²C² + R²)    dove si pone   X_C  =  1 ωC   chiamata Reattanza capacitiva   e misurata in Ohm, perchè il condensatore sviluppa una tensione di verso opposto,
V_C  =  - 1 ωC i  =  - X_C i, rispetto alla f.e.m. applicata, che si può interpretare come una caduta di tensione, al pari di quella ohmica; e quindi possiamo riprendere l'espressione precedente, scrivendo
τ² + ω²  =  ω² R² (X_C² + R²)   e sostituendo negli sviluppi dell'integrale in ©, si ha i  =  ω f_M R · R² ω²(X_C² + R²) · (τ cos ωt + ω sen ωt)     i  =  f_M · R ω (X_C² + R²) · ( 1 RC cos ωt + ω sen ωt)    
i  =  f_M X_C² + R² · ( 1 ωC cos ωt + R sen ωt)     i  =  f_M R² + X_C² · (R sen ωt + X_C cos ωt)

Come nel caso delle reattanza induttiva del circuito RL, qui si definisce, come detto, la Reattanza Capacitiva   X_C = 1 RC   con associata l'impedenza Z che ne consegue, data in modulo da   Z = √ R² + X_C², così che si possa scrivere   i  =  f_M √ R² + X_C² · ( R √ R² + X_C² sen ωt + X_C √ R² + X_C² cos ωt)     i  =  f_M Z · ( R Z sen ωt + X_C Z cos ωt)

Se allora consideriamo l'associato triangolo delle impedenze per il circuito RC, riportato a lato, si vede che   cos φ  =  R Z   e che   sen φ  =  XC Z ; ragion per cui si ottiene   i  =  fM Z · (cos φ · sen ωt + sen φ · cos ωt)   e per una nota formula di goniometria, cioè sen (α + β)  =  senα cosβ + cosα senβ, si ottiene   i  =  fM Z · sen(ωt + φ) Se confrontiamo l'espressione della corrente per il circuito RL,   i(t)  =  fM Z  sen (ωt - φ)   con quella per il circuito RC,   i(t)  =  fM Z  sen (ωt + φ) e con quella della f.e.m.   si vede che nel caso del circuito RC lo sfasamento è positivo, ωt + φ, rispetto alla fase zero della f.e.m. applicata,  fM sen ωt,   mentre per il circuito RL lo sfasamento è negativo,   i(t)  =  fM Z  sen (ωt - φ)   e questo significa che la corrente rispetto alla tensione applicata (f.e.m.) nel circuito capacitivo è in anticipo; mentre è in ritardo in un circuito induttivo RL.

Risoluzione dell'equazione differenziale per un circuito RLC con forzamento sinusoidale

Sicuramente il caso più interessante perchè quello che nella realtà si trova più facilmente, in quanto la maggior parte dei dispositivi ha componenti ohmici, induttivi e capacitivi insieme. In questo caso si ha, evidentemente VR + VL + VC  =  fM sin ωt   dove   VR = Ri   una d.d.p. per caduta (di potenziale) ohmica;   VL = - eL = - (- L didt ) = L di dt   e infine   VC = Q C Alcuni chiarimenti sulle formule: la legge di Neumann-Lenz si riferisce alla forza controelettromotrice generata dalla corrente variabile per autoinduzione magnetica ed è appunto opposta alla f.e.m. erogata dal generatore elettrico, quindi si esprime con la formula   eL  =  - L di dt   mentre la VL la vede in senso opposto come caduta di potenziale elettrico. Di conseguenza l'equazione diventa   Ri + L di dt + Q C  =  fM sin ωt   e derivando   L d2i dt2 + R di dt + i C  =  ωfM cos ωt Questa è un'equazione differenziale ordinaria (non alle derivate parziali) del secondo ordine non omogenea e a coefficienti costanti che si risolve trovando la soluzione generale dell'omogenea associata e una soluzione particolare dell'equazione non omogenea data, che, moltiplicate tra loro, danno la soluzione cercata. Intanto l'omogenea associata è evidentemente     L d2i dt2 + R di dt + i C  =  0     e dalla teoria sappiamo che la sua soluzione generale è del tipo     A1 eα1t + A2 eα2t

Lα² + Rα + 1 C  =  0     LCα² + RCα + 1  =  0     α_{1, 2}  =  - RC ± √R²C² - 4LC 2LC  =  - R 2L ±

v'1(t) y1(t) + v'2(t) y2(t)  =  0 v'1(t) y'1(t) + v'2(t) y'2(t)  =  ωfM L cos ωt

Dove le funzioni con gli apici     sono le derivate; quindi

v'1(t) eα1t + v'2(t) eα2t  =  0 v'1(t) α1 eα1t + v'2(t) α2 eα2t  =  ωfM L cos ωt

Le incognite sono ovviamente   v'1(t)   e   v'2(t)   e, come per ogni sistema, le soluzioni si trovano calcolando i determinanti

detP  =  eα1t                   eα2t α1 eα1t             α2 eα2t

detP1  =  0                               eα2t ωfM L cos ωt           α2 eα2t

detP2  =  eα1t                               0 α1 eα1t           ωfM L cos ωt

v₁(t)  =  ωf_M (α₁ - α₂)L e^{- α₁t} cos ωt dt  =  ωf_M (α₁ - α₂)L e^{- α₁t} cos ωt dt       occupiamoci del solo integrale     e^{- α₁t} cos ωt dt  =  - 1 α₁ e^{- α₁t} cos ωt  -  ω α₁ e^{- α₁t} sen ωt dt   (integrazione per parti)  = 

- 1 α₁ e^{- α₁t} cos ωt  +  ω α₁² sen ωt d(e^{- α₁t})    = - 1 α₁ e^{- α₁t} cos ωt  +  ω α₁² e^{- α₁t} sen ωt  -  ω α₁² e^{- α₁t} d(sen ωt)  =  - 1 α₁ e^{- α₁t} cos ωt  +  ω α₁² e^{- α₁t} sen ωt  -  ω² α₁² e^{- α₁t} cos ωt dt

e^{- α₁t} cos ωt dt  =   =  - 1 α₁ e^{- α₁t} cos ωt  +  ω α₁² e^{- α₁t} sen ωt  -  ω² α₁² e^{- α₁t} cos ωt dt

e^{- α₁t} cos ωt dt  +  ω² α₁² e^{- α₁t} cos ωt dt    =  - 1 α₁ e^{- α₁t} cos ωt  +  ω α₁² e^{- α₁t} sen ωt     (1  +  ω² α₁² )e^{- α₁t} cos ωt dt    =  - 1 α₁ e^{- α₁t} (cos ωt  -  ω α₁ sen ωt )      
α₁² + ω² α₁² e^{- α₁t} cos ωt dt    =  - 1 α₁ e^{- α₁t} (cos ωt  -  ω α₁ sen ωt )     α₁² + ω² α₁ e^{- α₁t} cos ωt dt    =  e^{- α₁t} ( ω α₁ sen ωt  -  cos ωt)  e^{- α₁t} cos ωt dt    =  1 α₁² + ω² e^{- α₁t} (ω sen ωt  -  α₁ cos ωt)

i(t)  =  y₁(t) v₁(t)  +  y₂(t) v₂(t)  =  e^α₁t  ωf_M (α₁² + ω²) (α₁ - α₂)L   e^{- α₁t} (ω sen ωt  -  α₁ cos ωt)  +  ωf_M (α₂² + ω²) (α₁ - α₂)L e^{- α₂t} ( α₂ cos ωt  -  ω sen ωt) e^α₂t  = 

 =  ωf_M (α₁² + ω²) (α₁ - α₂)L (ω sen ωt - α₁ cosωt)  +  ωf_M (α₂² + ω²) (α₁ - α₂) L (α₂ cos ωt - ω sen ωt)  =  ωf_M (α₁² + ω²) (α₁ - α₂)L ω (sen ωt  -  α₁ ω   cos ωt)   +   ωf_M (α₂² + ω²) (α₁ - α₂)L ω ( α₂ ω   cos ωt - sen ωt)   =  

α₁ ω  =  - R 2ωL -  =  - R 2X_L   -  

α₂ ω  =  - R 2ωL +  =  - R 2X_L +

(1 + α₁² ω² ) · (1 + α₂² ω² )  =  1 + - R 2X_L - ²


·   1 + - R 2X_L + ²


  =  
  =   1 + R² 4X_L² + R² 4X_L² + X_C X_L + R X_L 1 + R² 4X_L² + R² 4X_L² + X_C X_L - R X_L   =   1 + R² 2X_L² + X_C X_L ²


 -  R X_L ²

B  =  R X_L

i(t)  =  · X_L R² (X_L + X_C)² · α₂ ω 1 + α₁² ω² - α₁ ω 1 + α₂² ω² cos ωt - α₁² ω² - α₂² ω² sen ωt

α₁ ω  -  α₂ ω  =  - R 2X_L -  +  R 2X_L -  =  - 2


α₁² ω²  -  α₂² ω²  =  ( α₂ ω  -  α₁ ω ) ( α₂ ω  +  α₁ ω )  =  - 2 · - R 2X_L - - R 2X_L +  =  2 R X_L


 =  - R 2X_L - 1 + R² 4X_L² + X_C X_L - - - R 2X_L + 1 + R² 4X_L² + X_C X_L +  = 


- R 2X_L  -  R³ 8X_L³  -  R 2X_L² X_C  +  R² 2X_L²  -   +  R² 2X_L²  -  X_C X_L  +  R³ 8X_L³  +  R X_L² X_C  +  R 2X_L  +  R³ 4X_L³  +  R 2X_L² X_C +  R² 2X_L²  + 


 -   -  R² 2X_L²  -  X_C X_L  -  R³ 4X_L³  -  R X_L² X_C   =    - 2  -  2 X_C X_L  =  - 2  X_L + X_C X_L

2 R X_L sen ωt   -  2  X_L + X_C X_L   cos ωt  =   f_M R² + (X_L + X_C)² R sen ωt  -  (X_L + X_C) cos ωt

Dal momento che reattanza induttiva XL e reattanza capacitiva XC possono essere visti come due vettori di senso opposto, basta ricordare che XC  =  - 1 ωC , la situazione che si viene a determinare è visualizzata nel disegno a lato. Si ricordi che la reattanza totale è data da XL + XC  =  ωL - 1 ωC , quindi la somma è una somma algebrica, essendo quella capacitiva negativa, se assumiamo la reattiva positiva. Pertanto, come si faceva osservare precedentemente, la relazione tra Resistenza e Reattanza è pitagorica e la somma vettoriale (o la terza componente del triangolo rettangolo risultante) è l'impedenza  Z  =  √ R2 + (XL + XC)2, dove l'angolo   φ   è l'angolo di sfasamento che c'è tra R  e  Z. Si osservi allora che possiamo porre   cos φ  =  R √ R2 + (XL + XC)2   e   sen φ  =  XL + XC √ R2 + (XL + XC)2 , per cui si può scrivere i(t)  =  fM √ R2 + (XL + XC)2 R √ R2 + (XL + XC)2 sen ωt   -   XL + XC √ R2 + (XL + XC)2 cos ωt   =  fM Z (cosφ sen ωt   -   senφ cos ωt)  =  fM Z sen(ωt - φ)

Si osservi che la f.e.m. è data da   f(t)  =  fM sen ωt, mentre la corrente, come visto or ora, è   fM Z sen(ωt - φ)  e risulta in ritardo di un angolo φ; (il segno meno indica sfasata in ritardo); e questo è vero solo se la reattanza capacitiva è minore, in valore assoluto, di quella induttiva, e l'angolo φ cade nel primo quadrante di un riferimento cartesiano. Se invece accade il contrario, allora l'angolo di sfasamento è negativo, -|φ|, e cade nel quarto quadrante; di conseguenza la corrente è in anticipo sulla tensione e l'espressione della corrente diventa   i(t)  =  fM Z sen(ωt + φ). Potrebbe esserci confusione nel considerare le cose per un circuito elettrico, in realtà la questione è riassumibile nel modo seguente al circuito è applicata una f.e.m. f(t) e, in conseguenza di ciò, per la presenza della resistenza e della reattanza, si ha una caduta di tensione v(t)  =  vR(t) + vX(t), in maniera tale che f(t) + v(t)  =  0; quindi la fem applicata si "scarica" in una caduta di tensione attraverso resistenza e reattanza. In definitiva, la situazione si può schematizzare come in figura qui a destra. Si vede che appunto che f(t)  e  v(t)   sono uguali ed opposte, la corrente i(t) è in fase con la caduta di tensione ohmica vR, e la caduta di tensione dovuta alla reattanza vX è sfasata di 90° in anticipo o in ritardo, a seconda di quale reattanza prevale. E così è facile capire che in fig. 1 è rappresentato il caso in cui, prevalendo la reattanza capacitiva, la corrente (e la ddp ohmica) è in anticipo (si tenga presente che i vettori rotanti rappresentativi ruotano in senso antiorario); mentre in fig. 2 si ha il caso opposto, con la reattanza induttiva che prevale e quindi è v(t) che anticipa.